Detail předmětu
Moderní matematické metody v informatice
MID Ak. rok 2015/2016 letní semestr
Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny, kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru. Částečně a dobře uspořádané množiny, izotonní zobrazení, ordinály. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta. Svazy a svazové homomorfismy. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. Uzávěrové a topologické prostory a jejich využití v informatice (Scottova, Lawsonova a Khalimského topologie).
- Uspořádané množiny (posety) a monotónní zobrazení.
- Axiom výběru a věty s ním ekvivalentní.
- Dualita posetů, dolní množiny a dolní zobrazení, podmínky řetězců.
- Symetrický a tranzitivní obal relace, linearizace uspořádání.
- Dobře uspořádaní množiny, ordinální a kardinální čísla, transfinitní indukce.
- Polosvazy, svazy a úplné svazy.
- Průsekové struktury a uzávěrové operátory.
- Spojově a průsekově ireducibilní prvky svazu, podmínky řetězců a úplnost svazů.
- Ideály a filtry, Dedekind-MacNailleovo zúplnění.
- Modulární a distributivní svazy, Booleovy algebry.
Garant předmětu
Jazyk výuky
Zakončení
Rozsah
- 26 hod. přednášky
Zajišťuje ústav
Získané dovednosti, znalosti a kompetence z předmětu
Studenti získají znalosti o moderních matematických metodách využívaných v informatice a budou tak moci tyto medody aplikovat při práci ve svojí vědecké specializaci.
Absolventi budou schopni při své vědecké činnosti v informatice využívat moderních a efektivních matematických metod.
Cíle předmětu
Cílem předmětu je seznámit studenty s moderními matematickými metodami využívanými v informatice. Jedná se především o metody založené na teorii uspořádaných množin a svazů, algebře a topologii.
Doporučené prerekvizity
Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti
Základní znalosti teorie množin, matematické logiky a obecné algebry.
Literatura studijní
- G. Grätzer, Lattice Theory, Birkhäuser, 2003
- K.Denecke and S.L.Wismath, Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, Chapman & Hall, 2002
- S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008
- J.L. Kelley, general Topology, Van Nostrand, 1955.
Literatura referenční
- G. Grätzer, Universal Algebra, Springer, 2008
- B.A. Davey, H.A. Pristley, Introduction to Lattices ad Order, Cambridge University Press, 1990
- P.T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982
- S. Willard, General Topology, Dover Publications, Inc., 1970
- N.M. Martin and S. Pollard, Closure Spaces and Logic, Kluwer, 1996
- T. Y. Kong, Digital topology; in L. S. Davis (ed.), Foundations of Image Understanding, pp. 73-93. Kluwer, 2001
- S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008.
Osnova přednášek
- Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny.
- Kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru.
- Částečně a dobře uspořádané množiny, monotonní zobrazení, ordinály.
- Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta.
- Svazy a svazové homomorfismy.
- Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace
- Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice
- Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén.
- Uzávěrové operátory, jejich základní vlastnosti a aplikace v logice.
- Základy topologie: topologické prostory a spojitá zobrazení, oddělovací axiomy.
- Souvislost a kompaktnost v topologických prostorech.
- Speciální topologie v informatice: Scottova a Lawsonova topologie.
- Digitální topologie, Khalimského topologie.
Průběžná kontrola studia
Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů.
Kontrolovaná výuka
Testy během semestru
Zařazení předmětu ve studijních plánech