Detail předmětu
Obecná algebra
SOA FSI SOA Ak. rok 2024/2025 letní semestr 5 kreditů
V předmětu budou probrány základy moderní algebry. Budou popsány obecné vlastnosti a konstrukce univerzálních algeber, jako podalgebry, homomorfismy a faktorizace. Podrobně pak budou studovány jednotlivé algebraických struktury, tj. grupoidy, pologrupy, monoidy, grupy, okruhy, obory integrity a tělesa. Zvláštní pozornost bude věnována především grupám, okruhům (zejména okruhu polynomů), oborům integrity (včetně dělitelnosti) a konečným (Galoisovým) tělesům.
Garant předmětu
Jazyk výuky
Zakončení
Rozsah
- 26 hod. přednášky
- 26 hod. cvičení
Zajišťuje ústav
Cíle předmětu
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy moderní algebry, tj. se základními algebraickými strukturami a jejich vlastnostmi. Tyto struktury se často vyskytují v nejrůznějších aplikacích, zejméne technických, a jejich znalost je proto pro absolventy oboru matematické inženýrství nezbytná.
Studenti získají základní vědomosti o obecné algebře. Tyto vědomosti jim umožní uvědomit si mnohé matematické souvislosti, a proto hlouběji pochopit různá odvětví matematiky. Především však získají užitečné nástroje k nejrůznějším aplikacím, se kterými se mohou v budoucnu ve své praxi setkat.
Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti
Předpokládají se znalosti lineární algebry z prvního semestru bakalářského studia.
Literatura studijní
- L.Procházka a kol.: Algebra, Academia, Praha, 1990
- A.G.Kuroš, Kapitoly z obecné algebry, Academia, Praha, 1977
- S. MacLane a G. Birkhoff, Algebra, Vyd. tech. a ekon. lit., Bratislava, 1973
Literatura referenční
- J. Karásek and L. Skula, Obecná algebra (skriptum), Akademické nakladatelství CERM, Brno 2008
- J.Šlapal, Základy obecné algebry (skriptum), Akademické nakladatelství CERM, Brno 2022.
- Procházka a kol., Algebra, Academia, Praha, 1990
Osnova přednášek
1. Operace a zákony, pojem univerzální algebry
2. Některé důležité typy algeber, základy teorie grup
3. Podalgebry, rozklad grupy podle podgrupy
4. Homomorfismy a izomorfismy
5. Kongruence a faktorové algebry
6. Kongruence na grupách a okruzích
7. Přímé součiny algeber
8. Okruh polynomů
9. Obory integrity a dělitelnost, Gaussovy okruhy
10. Okruhy hlavních ideálů a Euklidovy okruhy
11. Podílová pole oboru integrity a minimální pole,
12.Kořenová pole a rozšíření pole
13. Rozkladová pole a Galoisova pole
Osnova cvičení
1. Operace a zákony, pojem univerzální algebry
2. Některé důležité typy algeber, základy teorie grup
3. Podalgebry, rozklad grupy podle podgrupy
4. Homomorfismy a izomorfismy
5. Kongruence a faktorové algebry
6 Kongruence na grupách a okruzích
7. Přímé součiny algeber
8. Okruh polynomů
9. Obory integrity a dělitelnost, Gaussovy okruhy
10. Okruhy hlavních ideálů a Euklidovy okruhy
11. Podílová pole oboru integrity a minimální pole,
12.Kořenová pole a rozšíření pole
13. Rozkladová pole a Galoisova pole
Osnova numerických cvičení
1. Užití programu Maple pro počítání úloh obecné algebry
2. Užití programu Mathematica pro počítání úloh obecné algebry
Průběžná kontrola studia
Podmínkou pro zápočet je aktivní účast ve cvičeních a prokázání znalostí při písemných testech, které budou průběžně konány. V písemné části zkoušky je třeba prokázat schopnost řešit zadaný problém na základě získaných vědomostí, v její ústní části pan zvládnutí probrané teorie.
Účast na cvičeních bude pravidelně kontrolována. Omluvená neúčast bude nahrazována zadáním samostatné práce tak, aby student mohl zameškanou látku zvládnout.
Způsob kontaktu s vyučujícím
Při výuce jsou studenti v osobním kontaktu s vyučujícím.
Zařazení předmětu ve studijních plánech